FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN

MATEMÁTICA

Esta página tiene teoría, práctica y prueba INTEGRADORA

• ¿Qué es una función cuadrática?
• ¿Qué elementos necesito tener en cuenta para graficar?
• ¿Existen en la vida cotidiana?

  

Recordemos que la matemática no es sólo mecanizar fórmulas y 

resolver algoritmos, está presente en cada situación de nuestra vida 

cotidiana.

 OJO...La apariencia de una función cuadrática es una parábola.

MIRA EL SIGUIENTE PREZI DE FUNCIONES 

      CUADRÁTICAS.

https://prezi.com/kkxblhavsojw/untitled-prezi/

DESCUBRE LAS RAÍCES O CEROS DE LA FUNCIÓN 

  CUADRÁTICA  y realiza en tu cuaderno las actividades.

(Si no tienes internet busca en el escritorio del alumno en tu netbook)

file:///D:/escritorioalumnos/datos/recursos/pdf/matematica/raices_cuadratica.pdf

Algunos link interesantes

1) http://glaalgebranoveno.blogspot.com.ar/2012_07_01_archive.htmlTopic 7

2)http://www.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-atematicas-a-la-vida-diaria

3)http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=14923

TRASLACIONES DE LA PARÁBOLAS

Partimos de y = x²

x	y = x²
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4

Caso 1: Traslación vertical

y = x² + k

Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba 

k unidades.

Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo 

k unidades.

El vértice de la parábola es: (0, k).

El eje de simetría x = 0.

y = x² +2                                                                                 

                 

y = x² −2

Caso 2: Traslación horizontal

y = (x + h)²

Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la 

izquierda h unidades.

Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la 

derecha h unidades.

El vértice de la parábola es: (−h, 0).

El eje de simetría es x = −h


   y = (x + 2)² 

y = (x − 2)²

     

Caso 3: Traslación oblicua

y = (x + h)² + k

El vértice de la parábola es: (−h, k).

El eje de simetría es x = −h.

y = (x − 2)² + 2  

y = (x + 2)² − 2

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PRÁCTICO

FUNCIÓN CUADRÁTICA

CORRIMIENTOS Y FORMA CANÓNICA

En los siguientes ítems se propone 

comparar una función cuadrática con la 

más sencillas de todas ellas, que es y=x².

Ya vimos que cuando la variable 

cuadrática está acompañada por un 

números (coeficiente), es decir,
     
               y = a.x²  

si ese número es mayor que 

cero(positivo), las ramas de la curva 

abren hacia arriba. Por el contrario si ese 

número es menor que cero, es decir, es 

negativo, las ramas abren hacia abajo.

En todos los casos el vértice de la gráfica 

es el punto (0,0).

Ahora observemos el gráfico dela función 

cuadrática de la forma y = ( x - 2)². La 

curva se “corre” dos lugares hacia la 

derecha.

 Si fuera y = ( x + 2)², ¿hacia dónde y 

cuántos lugares se “correría?. Dibújala 

para verificar. ¿Cuál es el vértice en 

ambas gráficas? Dar sus coordenadas.

Por lo tanto responde:

    1-¿A cuál de las fórmulas podría 



corresponder el siguiente gráfico? Justifica 

tu elección.

          a) y = x² + 10   
                      
          b)  y = ( x + 10)² 

        c)y = x² – 10
                         
          d)  y = ( x – 10)²

En una función cuadrática
   
   y = ax² + bx + c 

el vértice es el punto V = ( p , q ), 

entonces la función puede escribirse como:

ESTA FORMA DE ESCRIBIR LA     CUADRÁTICA SE LLAMA FORMA       CANÓNICA  DE LA FUNCIÓN  y= a(x - p)2+q   Donde V=(p,q)                           o  y= a(x - h)2+K  Donde V=(h,K)

 2-Entonces, ¿Cómo sería el vértice de la 

parábola
         
 y = ( x – 2 )² + 1?

¿Y si fuese y = (x – 2 )² +2? 

¿Y si fuera y = (x - 2)² + 3?

   
Para lograr una tabla de valores que sean 

realmente efectivos para lograr el gráfico 

dela función cuadrática en forma canónica, 

se deben tomar valores alrededor de la 

coordenada x del vértice. Es decir se 

podría tomar dos valores a la izquierda de 

la coordenada  x y dos valores a la 

derecha de la coordenada x, incluida x.

 3-Ahora  realiza el gráfico dela siguiente 

  parábola:
  
            y = (x - 2)² + 1. 


  También gráfica

       y = (x – 2 )²+ 2   

       y = (x - 2)² + 3

  4-¿Cuáles son las coordenadas del vértice  

  de la parábola de la función 

           y = (x-4)² + 6?


      ¿Y si fuese y = (x + 4)² +6?

  5-¿Cuál de estas fórmulas podría 

  corresponder al gráfico que se presenta

    a continuación? ¿Cómo se dan cuenta?

               
a) y = (x -  9)² + 8 


b) y = (x +  9)² + 8          

               
c) y = (x -  8)² + 9       

                         
d) y = (x + 8)² + 9

               
e) y = (x -  8)² - 9

               
f) y = (x -  9)²– 8

6- Decidí cuál de los gráficos corresponde 

    a cada ecuación cuadrática.

a) y =  x² + 1                 

b) y = - x² + 1            

c)  y =   x² – 1         

  7-El siguiente gráfico corresponde a la 

   función y = (x – 1)².

a) Grafica las  siguientes funciones:

   I)  y = 2 . (x – 1)²

II) y = -2 . (x – 1)^2.  

Analiza diferencias y semejanzas.

b) ¿Sera cierto que el gráfico de la 

función y = 2. (x – 1)² + 8 

es igual al de y = 2 . (x – 1)² pero 

desplazado 8 unidades hacia arriba?

¿Cómo te das cuenta?

c) ¿Cuál de los gráficos que se 

muestran podría corresponder a la 

función y = - 2. (x – 1)² + 8?

 ¿Cómo pueden darse cuenta sin 

graficar?

FUNCIÓN CUADRÁTICA COMPLETA

Representación de la función cuadrática 

dada por la fórmula completa 


       y = a.x ² + bx + c 

donde a, b y c son números reales. 


Para realizar el gráfico de esta función 

utilizaremos un método basado en 

determinar puntos notables 

de la gráfica de y.

•   Vértice de la parábola. 
• 
  
• Lo identificaremos con coordenadas x_v e  
• 
  
• 
  
• y_v, es decir         V = (x_v , y_v)                       
  
                  
• y_v = se calcula evaluando la función en 
• 
  
• la coordenada x_v
• 
  
• ·  Raíces de la parábola. Son los puntos 
• 
  
• de intersección de la parábola con el eje 
• 
  
• x. Vale decir y = 0. Es decir se debe 
• 
  
• igualar a 0 la función, a saber   
• 
  
• a.x ² + bx + c = 0.

 Eso equivale a resolver dicha ecuación 

utilizando la formula resolvente para una 

ecuación de segundo grado completa. 

Recordemos dicha fórmula:

                          

•  Eje de simetría: es la recta que tiene 
• 
  
• por ecuación: x = x_v
• 
  
•   Ordenada al orígen: es el punto de 
• 
  
• intersección (corte) de la gráfica con el 
• 
  
• eje y, vale decir que es y(0) = c  

   

  Ejemplo: 


Graficar y = x² + 2x – 3                      

a = 1      b = 2      c = -3

    Vértice:       x_v = -b/2a = -1                    

 y_v = (-1)² + 2 . (-1) – 3 = -4

   Sus Raíces X_1,2  son 1 y -3.

                                                                                                       Eje de simetría:  x = -1

  
         Ordenada al orígen:   

          0² + 2 . 0 – 3 = -3

Ahora la gráfica:   

Raíces de la función cuadrática

Cuando se gráfica una función 

cuadrática, puede ocurrir que la 

parábola tenga contacto con el eje x 

en dos puntos, en un sólo punto o 

  no tiene contacto.

    Se les llama raíces de la 

  función o ceros de la función.

Para ello se analiza la expresión 
     
     b² – 4.a.c 

que se denomina discriminante. 

Puede pasar:

           
  b² – 4.a.c > 0, la función tiene dos 

raíces reales (la gráfica corta al eje    
  x en dos puntos)

           

b² – 4.a.c = 0, la función tiene una 

única raíz real (la gráfica  corta en 

  un sólo punto)

           

b² – 4.a.c < 0, la función no tiene 

solución real ( la gráfica no corta al 

eje x)

8-Grafiquen las siguientes  funciones 

cuadráticas, luego comprueba tu 

producción con el  GEOGEBRA, 

 guardar como(Func.Cuad. N.A.Curso 

  División),y envía para 

     su corrección:

a) y = x² – 5x + 6               

b) y = - x² + 4x  
          

c) y =  x² – x + ¼                       
d) y = x² + x + 1

9-Sin resolverlas, indiquen el tipo 

 de raíces de cada una de estas 

 ecuaciones:

a)  y = x² – x + 2            

b)  y = x + 9x² – 1  
                 
  c)  y = - 2 x² – 6x

Forma factorizada de una función 

cuadrática

Se llama forma factorizada de una 

función cuadrática a la expresión:

y = a(x –x1)(x – x2)

Donde a es el coeficiente principal, 

es decir, el número que acompaña 

a x² 


 x₁ y x₂ son sus raíces.

10-En cada caso halla la forma 

factorizada de la función cuadrática 

que cumple las condiciones indicadas:

a) El coeficiente principal es 2, y 

sus raíces son 0 y -4

b) El coeficiente principal es 

 2/3 y su única raíz es 5.

c) Utiliza el programa GEOGEBRA 

para graficar. Guarda en una 

carpeta y envíalas para su 

corrección.

     11-Decidí a cuales de los gráficos 
    
      corresponde cada formula:

      
      a) y = -(x – 1)(x + 1)         

  

      

        b) y = (x – 1)( x + 1)         

      

      
      c) y = – (x – 1)²      

      
      d) y = (x + 1)²  

12- Decidí a cuales de los gráficos 

      corresponde cada fórmula:

 a) y = -(x – 1)(x + 1)          

 b) y = (x – 1)( x + 1)          

 c) y= – (x – 1)²                   

 d) y = (x + 1)²

Segunda prueba integradora

(2° trimestre)

Actividad N°1

Resuelvan las siguientes ecuaciones e 

indica cuantas raíces pueden tener:

1.

2. 

3. 

4.

5. 

6. 

Actividad N°2

En las siguientes funciones 

cuadráticas:

a) Dar las coordenadas del vértice

b) Escribe la forma canónica  y 

grafica por desplazamientos 

horizontales y verticales la función.

Actividad N°3

En las siguientes funciones 

cuadráticas: 

a) Encuentra las coordenadas de los 

puntos de corte de la parábola con 

los ejes cartesianos.

b) Escribe en forma factorizada la 

función y realiza el gráfico en un par 

de ejes cartesianos.

Actividad N°4

Escriba las siguientes funciones en la 

forma más conveniente de acuerdo 

con los datos dados  y luego hallen 

las expresiones polinómicas de cada 

una.  

Grafica para prácticar

a) El vértice es V= ( -3, -2) y el 

coeficiente principal es -2

b) Las raíces son   X₁  = - 4 y   X₂  = 2 

y el coeficiente principal es -1.

Actividad N°5

Expresen cada una de las siguientes 

funciones en la forma en que se pide.

a) y = - x² + 2x + 3, en forma canónica  es 

         y = ................

b) y = x² -4x + 4, en forma factorizada es 

         y = ...............

c)y =(-1/2) ( x + 2) ( x -3), en forma polinómica es 

              y = ...................