FUNCIÓN
MATEMÁTICA
Esta página tiene teoría, práctica y prueba INTEGRADORA
- ¿Qué es una función cuadrática?
- ¿Qué elementos necesito tener en cuenta para graficar?
- ¿Existen en la vida cotidiana?
Recordemos que la matemática no es sólo mecanizar fórmulas y
resolver algoritmos, está presente en cada situación de nuestra vida
cotidiana.
OJO...La apariencia de una función cuadrática es una parábola.
MIRA EL SIGUIENTE PREZI DE FUNCIONES
CUADRÁTICAS.
DESCUBRE LAS RAÍCES O CEROS DE LA FUNCIÓN
CUADRÁTICA y realiza en tu cuaderno las actividades.
(Si no tienes internet busca en el escritorio del alumno en tu netbook)
file:///D:/escritorioalumnos/datos/recursos/pdf/matematica/raices_cuadratica.pdf
Algunos link interesantes
2)http://www.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-atematicas-a-la-vida-diaria
3)http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=14923
TRASLACIONES DE LA PARÁBOLAS
| x | y = x² |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Caso 1: Traslación vertical
y = x² + k
Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba
k unidades.
k unidades.
Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo
k unidades.
k unidades.
El vértice de la parábola es: (0, k).
El eje de simetría x = 0.
y = x² +2
y = x² −2
Caso 2: Traslación horizontal
y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la
izquierda h unidades.
izquierda h unidades.
Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la
derecha h unidades.
derecha h unidades.
El vértice de la parábola es: (−h, 0).
El eje de simetría es x = −h
y = (x + 2)²
y = (x + 2)²
y = (x − 2)²
Caso 3: Traslación oblicua
y = (x + h)² + k
El vértice de la parábola es: (−h, k).
El eje de simetría es x = −h.
y = (x − 2)² + 2
y = (x − 2)² + 2
y = (x + 2)² − 2
-------------------------------------
PRÁCTICO
FUNCIÓN CUADRÁTICA
CORRIMIENTOS Y FORMA CANÓNICA
En los siguientes ítems se propone
comparar una función cuadrática con la
más sencillas de todas ellas, que es y=x2.
comparar una función cuadrática con la
más sencillas de todas ellas, que es y=x2.
Ya vimos que cuando la variable
cuadrática está acompañada por un
números (coeficiente), es decir,
y = a.x2
si ese número es mayor que
cero(positivo), las ramas de la curva
abren hacia arriba. Por el contrario si ese
número es menor que cero, es decir, es
negativo, las ramas abren hacia abajo.
En todos los casos el vértice de la gráfica
es el punto (0,0).
Ahora observemos el gráfico dela función
cuadrática de la forma y = ( x - 2)2. La
curva se “corre” dos lugares hacia la
derecha.
Si fuera y = ( x + 2)2, ¿hacia dónde y
cuántos lugares se “correría?. Dibújala
para verificar. ¿Cuál es el vértice en
ambas gráficas? Dar sus coordenadas.
Por lo tanto responde:
1-¿A cuál de las fórmulas podría
corresponder el siguiente gráfico? Justifica
tu elección.
a) y = x2 + 10
b) y = ( x + 10)2
c)y = x2 – 10
d) y = ( x – 10)2
b) y = ( x + 10)2
c)y = x2 – 10
d) y = ( x – 10)2
En una función cuadrática
y = ax2 + bx + c
el vértice es el punto V = ( p , q ),
entonces la función puede escribirse como:
y = ax2 + bx + c
el vértice es el punto V = ( p , q ),
entonces la función puede escribirse como:
CUADRÁTICA SE LLAMA FORMA CANÓNICA DE LA FUNCIÓN
y= a(x - p)2+q Donde V=(p,q)
o y= a(x - h)2+K Donde V=(h,K) |
2-Entonces, ¿Cómo sería el vértice de la
parábola
y = ( x – 2 )2 + 1?
parábola
y = ( x – 2 )2 + 1?
¿Y si fuese y = (x – 2 )2 +2?
¿Y si fuera y = (x - 2)2 + 3?
Para lograr una tabla de valores que sean
realmente efectivos para lograr el gráfico
dela función cuadrática en forma canónica,
se deben tomar valores alrededor de la
coordenada x del vértice. Es decir se
podría tomar dos valores a la izquierda de
la coordenada x y dos valores a la
derecha de la coordenada x, incluida x.
3-Ahora realiza el gráfico dela siguiente
parábola:
y = (x - 2)2 + 1.
También gráfica
parábola:
y = (x - 2)2 + 1.
También gráfica
y = (x – 2 )2+ 2
y = (x - 2)2 + 3
4-¿Cuáles son las coordenadas del vértice
de la parábola de la función
y = (x-4)2 + 6?
¿Y si fuese y = (x + 4)2 +6?
de la parábola de la función
y = (x-4)2 + 6?
¿Y si fuese y = (x + 4)2 +6?
5-
corresponder al gráfico que se presenta
a continuación? ¿Cómo se dan cuenta?
corresponder al gráfico que se presenta
a continuación? ¿Cómo se dan cuenta?
a) y = (x - 9)2 + 8
b) y = (x + 9)2 + 8
c) y = (x - 8)2 + 9
d) y = (x + 8)2 + 9
e) y = (x - 8)2 - 9
f) y = (x - 9)2– 8
6- Decidí cuál de los gráficos corresponde
a cada ecuación cuadrática.
a) y = x2 + 1
b) y = - x2 + 1
c) y = x2 – 1
7-El siguiente gráfico corresponde a la
función y = (x – 1)2.
función y = (x – 1)2.
a) Grafica las siguientes funciones:
I) y = 2 . (x – 1)2
I) y = 2 . (x – 1)2
II) y = -2 . (x – 1)2.
Analiza diferencias y semejanzas.
b) ¿Sera cierto que el gráfico de la
función y = 2. (x – 1)2 + 8
es igual al de y = 2 . (x – 1)2 pero
desplazado 8 unidades hacia arriba?
¿Cómo te das cuenta?
c) ¿Cuál de los gráficos que se
muestran podría corresponder a la
función y = - 2. (x – 1)2 + 8?
¿Cómo pueden darse cuenta sin
graficar?
muestran podría corresponder a la
función y = - 2. (x – 1)2 + 8?
¿Cómo pueden darse cuenta sin
graficar?
FUNCIÓN CUADRÁTICA COMPLETA
Representación de la función cuadrática
dada por la fórmula completa
y = a.x 2 + bx + c
donde a, b y c son números reales.
Para realizar el gráfico de esta función
utilizaremos un método basado en
determinar puntos notables
de la gráfica de y.
- Vértice de la parábola.
- Lo identificaremos con coordenadas xv e
- yv, es decir V = (xv , yv)
- yv = se calcula evaluando la función en
- la coordenada xv
- · Raíces de la parábola. Son los puntos
- de intersección de la parábola con el eje
- x. Vale decir y = 0. Es decir se debe
- igualar a 0 la función, a saber
- a.x 2 + bx + c = 0.
Eso equivale a resolver dicha ecuación
utilizando la formula resolvente para una
ecuación de segundo grado completa.
Recordemos dicha fórmula:
- Eje de simetría: es la recta que tiene
- por ecuación: x = xv
- Ordenada al orígen: es el punto de
- intersección (corte) de la gráfica con el
- eje y, vale decir que es y(0) = c
Ejemplo:
Graficar y = x2 + 2x – 3
a = 1 b = 2 c = -3
Vértice: xv = -b/2a = -1
yv = (-1)2 + 2 . (-1) – 3 = -4
Sus Raíces X1,2 son 1 y -3.
Eje de simetría: x = -1
Ordenada al orígen:
02 + 2 . 0 – 3 = -3
Ahora la gráfica:
Raíces de la función cuadrática
Cuando se gráfica una función
cuadrática, puede ocurrir que la
parábola tenga contacto con el eje x
en dos puntos, en un sólo punto o
no tiene contacto.
Se les llama raíces de la
función o ceros de la función.
Para ello se analiza la expresión
b2 – 4.a.c
que se denomina discriminante.
Puede pasar:
b2 – 4.a.c > 0, la función tiene dos
raíces reales (la gráfica corta al eje
x en dos puntos)
b2 – 4.a.c = 0, la función tiene una
única raíz real (la gráfica corta en
un sólo punto)
b2 – 4.a.c < 0, la función no tiene
solución real ( la gráfica no corta al
eje x)
8-Grafiquen las siguientes funciones
cuadráticas, luego comprueba tu
producción con el GEOGEBRA,
guardar como(Func.Cuad. N.A.Curso
División),y envía para
su corrección:
a) y = x2 – 5x + 6
b) y = - x2 + 4x
b) y = - x2 + 4x
c) y = x2 – x + ¼
d) y = x2 + x + 1
d) y = x2 + x + 1
9-Sin resolverlas, indiquen el tipo
de raíces de cada una de estas
ecuaciones:
de raíces de cada una de estas
ecuaciones:
a) y = x2 – x + 2
b) y = x + 9x2 – 1
c) y = - 2 x2 – 6x
Forma factorizada de una función
cuadrática
Se llama forma factorizada de una
función cuadrática a la expresión:
y = a(x –x1)(x – x2)
|
Donde a es el coeficiente principal,
es decir, el número que acompaña
a x2
x1 y x2 son sus raíces.
10-En cada caso halla la forma
factorizada de la función cuadrática
que cumple las condiciones indicadas:
a) El coeficiente principal es 2, y
sus raíces son 0 y -4
b) El coeficiente principal es
c) Utiliza el programa GEOGEBRA
para graficar. Guarda en una
carpeta y envíalas para su
corrección.
para graficar. Guarda en una
carpeta y envíalas para su
corrección.
11-Decidí a cuales de los gráficos
corresponde cada formula:
corresponde cada formula:
a) y = -(x – 1)(x + 1)
c) y = – (x – 1)2
d) y = (x + 1)2
12- Decidí a cuales de los gráficos
corresponde cada fórmula:
a) y = -(x – 1)(x + 1)
b) y = (x – 1)( x + 1)
c) y= – (x – 1)2
d) y = (x + 1)2
Segunda prueba integradora
(2° trimestre)
Actividad N°1
Resuelvan las siguientes ecuaciones e
indica cuantas raíces pueden tener:
1.
2. 
3. 
4.
5. 
6.
Actividad N°2
En las siguientes funciones
cuadráticas:
a) Dar las coordenadas del vértice
b) Escribe la forma canónica y
grafica por desplazamientos
horizontales y verticales la función.
Actividad N°3
En las siguientes funciones
cuadráticas:
a) Encuentra las coordenadas de los
puntos de corte de la parábola con
los ejes cartesianos.
función y realiza el gráfico en un par
de ejes cartesianos.
Actividad N°4
Escriba las siguientes funciones en la
forma más conveniente de acuerdo
con los datos dados y luego hallen
las expresiones polinómicas de cada
una.
Grafica para prácticar
a) El vértice es V= ( -3, -2) y el
coeficiente principal es -2
b) Las raíces son X1 = - 4 y X2 = 2
y el coeficiente principal es -1.
Actividad N°5
Expresen cada una de las siguientes
funciones en la forma en que se pide.
y = ................
b) y = x2 -4x + 4, en forma factorizada es
y = ...............
c)y =(-1/2) ( x + 2) ( x -3), en forma polinómica es
y = ...................
